第3章エネルギーの基礎 3.2 エネルギーの散逸と熱効率・エクセルギー

  

 前回はエネルギーの保存則について調べました。今回は熱エネルギーが無限に使用できる訳ではなく、環境へ散逸していってしまうという熱力学第 2 法則と熱効率やエクセルギーについて学びます。

熱力学第2法則

 前回述べた様に、様々なエネルギー間で変換が可能で、このときエネルギーの総量が保存されます。しかし、エネルギーの変換は常に可逆的に進行するかというと決してそうではありません。いろいろなエネルギーは熱へ変換可能ですが、逆に熱から他のエネルギーへ完全に変換することはできないのです。このため、すべてのエネルギーは最終的には熱となって環境中に散逸し、仕事として取り出すことができなくなります。これを表現しているのが熱力学第 2 法則ですが、実はこの法則にはいくつもの表現があります。

 熱力学第 2 法則の表現の 1 つに、「他に何の変化も残さずに、低温熱源から高温熱源に熱を移すことはできない」というクラウジウスの定理があります。分かりにくい表現ですが、熱は温度の高い方から低い方に伝わるが、低い方から高い方に自然に伝わることはない、という意味です。

 もう 1 つの表現が「他に何の変化も残さずに、1 つの熱源から熱を受け取り、これをすべて仕事に変えることはできない」というトムソンの原理です。これは、熱をすべて仕事に変換することはできない、という意味です。

熱機関と効率

 熱エネルギーを継続的に「力学的な仕事」へ変換する装置を熱機関(heat engine)といいます。熱機関は大きく、内燃機関(internal combustion engine)外燃機関(external combustion engine)に分けられます。内燃機関とは機関内部で燃料を燃焼させ、燃焼ガスで直接仕事を行う機関のことで、ガソリンエンジン、ディーゼルエンジン、ジェットエンジン、ロケットエンジンなどがあります。一方の外燃機関は火力発電の蒸気タービンや蒸気機関車など、機関の外にある熱源によって、機関内部の作動気体を間接的に加熱して仕事を行うものです。また、動力を取り出す機構としては、作動ガスの状態変化をピストンの往復運動に変えるピストン式と作動ガスをタービン翼に当てて回転力に変えるタービン式があります。

図3.4 熱機関の概念

 図 3.4 に熱機関の概念を示しています。熱機関は絶対温度が \(T\) の高温熱源から \(Q_1\) の熱を受け、仕事 \(W\) を行うともに、絶対温度 \(T_0\) の周囲環境に \(Q_2\) の排熱を捨てます。熱を完全に仕事に変換できないので、排熱が出てしまうのですね。このとき熱力学第 1 法則から次式が成り立ちます。

$$ W=Q_1-Q_2$$

 ここで少し「絶対温度」について補足説明しておきましょう。物理学では温度として「絶対温度(単位:ケルビン K)」をよく使います。これは分子や原子の運動が完全に停止する状態の温度をゼロとした温度です。物質は分子からなり、分子は運動しています。この運動は温度が高くなるほど激しくなります。気体の状態方程式を高校の物理で習います。これは次の様な式です。

$$PV=nRT$$

 \(P\) は気体の圧力、\(V\) は体積、\(n\) は気体の量(モル数で表します)、\(R\) は定数、そして \(T\) は絶対温度です。 \(T\) がゼロの時、気体分子は運動していないので、圧力がゼロとなるわけです。\(T\) がゼロより大きな場合には、\(PV\) が正の値を持ちます。図 3.5 は 3.1 で出てきたものですが、絶対温度の観点でもう一度説明してみましょう。シリンダーに熱が加わり絶対温度が上がります。すると、左側ではピストンの位置が固定されているので体積が一定で圧力が上昇します。内部エネルギーの上昇が圧力上昇として現れるわけです。右側ではピストンが動いて体積が増えます。この分内部エネルギーが減って、左より圧力が下がるというわけです。

図3.5 シリンダーの加熱と内部エネルギーの増加

 なお、摂氏 \(t\) を絶対温度 \(T\) に変換するには次式を使います。

$$ T (K)=t (^\circ C) +273.15 $$

 本題に戻りましょう。では。受け取った熱のうち、どのくらいが仕事に使われているかという効率 \(\eta\) を調べてみましょう。

$$ \eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 – Q_2}{Q_1}= 1-\frac{Q_2}{Q_1}$$

 フランスの物理学者カルノー(Carnot)は、「理論的な可逆的熱機関では受熱量と放熱量の比が高温熱源と低温熱源(周囲環境)の温度比に等しい」という重要な関係を明らかにしました。これは次式で表せます。

$$ \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_0}{T}$$

 これを先ほどの式に代入しますと次式になります。

$$ \eta =1-\frac{T_0}{T}$$

 つまり、カルノーの関係式を用いると、単純に高温熱源と低温熱源(周囲環境)の温度比で効率を表すことができるのです。これを理論効率(カルノー効率)と呼びます。理論効率は可逆的な熱機関における効率で、現実の熱機関は不可逆過程を含んでいるため、得られる効率は理論効率より小さくなります。

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_0}{T}$$

は、書き直すと次式になります。

$$\frac{Q_1}{T} = \frac{Q_2}{T_0}$$

 この\( Q/T\)をエントロピー(\(\Delta S\))と名付け、 不可逆性の指標として使います可逆的な熱機関ではエントロピーは変化しません。ですから、高温部から熱機関に入ってきたエントロピーと低温部のエントロピーは同じ値になります。一方、不可逆系では熱効率は理論効率より小さくなりますから、

$$ \frac{Q_1 – Q_2}{Q_1}< \frac{T-T_0}{T}$$

 よって、

$$\frac{Q_1}{T} < \frac{Q_2}{T_0}$$

 つまり、高温部から熱機関に入ってきたエントロピーより、大きなエントロピーが低温部に出て行くことになります。つまり、不可逆過程ではエントロピーは増大するのです。これが熱力学第 2 法則の第 3 の表現であるエントロピー増大則です。

 さて、話を戻します。理論効率は熱源 \(T\) から得られる最大効率となります。式から明らかな様に、高温熱源の温度が高ければ高いほど理論効率が高まります。一方、熱源の温度が環境温度の場合( \(T=T_0\) )では理論効率がゼロとなり、まったく仕事を取り出せません。

エクセルギー

 温度 \(T\) の熱 \( Q_1\)から取り出せる最大仕事量 \(W\) は次式で表されます。

$$ W=Q_1 ( 1-\frac{T_0}{T} ) $$

 これは環境温度が \(T_0\) の時、温度 \(T\) の熱 \( Q_1\) から取り出せる最大エネルギーです。これをエクセルギーE(excergy)と定義します。 ここで、「熱」を「物質が持つエネルギー」と置き換えれば、より広い概念となります。すなわち、環境条件下で物質から原理的に取り出し得るエネルギーの最大値をエクセルギーとするのです。 

$$ E=Q_1 ( 1-\frac{T_0}{T} ) $$

 では、問題をひとつ解いてみて下さい。

【例題】温度が 1000 ℃ の火力発電所と温度が 30 ℃ の海水温度差発電所がある。どちらも同じ10,000 J の熱量を持っているとすると、環境温度が 15 ℃の時、それぞれの発電所の理論効率と取り出しうる最大エネルギー(すなわちエクセルギー)の値を求めよ

【解答】

 次式を使って、両ケースを比較します。

$$ \eta=1-\frac{T_0}{T}$$

$$ E=Q_1 ( 1-\frac{T_0}{T} ) $$

 \(T\)は絶対温度でしたね。火力発電所の場合は \(T=1000^\circ C=1273.15 K\)、海水温度差発電の場合は \(T=30^\circ C=303.15 K\)で、環境温度はともに \(T_0=15^\circ C=288.15 K\)となります。これを上式に代入します。\(Q_1=10,000 J\) です。

 理論効率 \(\eta\) の値は火力発電では 0.77、海水温度差発電では 0.05 となります。エクセルギー \(E\) は火力発電が 7700 J なのに対し、海洋温度差発電は 500 J しかありません。つまり、どちらも同じ熱エネルギーを持っているのですが、温度の低い海水温度差発電ではそのうちのほんの少ししか取り出せないのです。すなわち、両者はエネルギーの「量」は同じでも、エネルギーの「質」が違っているのです。この様に、エクセルギーはエネルギーの質を考慮したエネルギーと言えます

(更新:2021/02/02)

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